Новая рубрика: «Атмосферные истории»
Странный аттрактор: как бабочка стала символом хаоса?
Представьте: начало 1960-х. Вы — Эдвард Лоренц, метеоролог, который исследует, насколько хорошо статистические методы, в частности линейная регрессия, описывают атмосферные процессы. Вы предполагаете, что для понимания динамики атмосферы необходимо учитывать её нелинейный характер. Что будете делать? Конечно, решать нелинейные уравнения гидродинамики и проверять это предположение.
Так, Лоренц создал упрощённую модель атмосферной циркуляции, в которой поля движения воздуха и температуры были представлены в виде суммы нескольких пространственных волн — гармоник, состоящую из 12 уравнений. Однажды, желая проверить результаты расчётов, он запустил модель заново — с середины предыдущего эксперимента, используя полученные ранее значения в качестве начальных условий. Компьютер рассчитывал значения с точностью до шести знаков после запятой, но выводил только три. Поэтому, возобновляя расчёт, Лоренц ввёл округлённые значения. Результат оказался неожиданным: два расчёта, практически не различавшиеся вначале, со временем дали совершенно разные результаты. Крошечная погрешность в начальных условиях постепенно усиливалась, и решения модели существенно расходились.
Открытие шло вразрез с привычным представлением о том, что малые различия приводят к малым изменениям. Лоренц обнаружил, что даже его сравнительно простая детерминированная модель демонстрирует высокую чувствительность к начальным условиям.
Продолжая исследования, Лоренц обратился к другой, ещё более простой модели — системе из трёх переменных, описывающей конвекцию в слое жидкости, нагреваемом снизу. Он проводил расчёты для различных начальных условий и исследовал траектории системы в трёхмерном пространстве состояний. Оказалось, что они не расходятся бесконечно, а остаются в ограниченной области пространства, формируя характерную структуру, напоминающую крылья бабочки. Так была обнаружена одна из самых известных моделей детерминированного хаоса, а её аттрактор позднее получил название странного.
Первые открытия Лоренца положили начало новой области исследований, повлиявшей не только на математику, но и на многие другие науки. В метеорологии они изменили представления о предсказуемости атмосферы: стало ясно, что из-за чувствительности к начальным условиям точность прогноза погоды на длительные сроки имеет принципиальные ограничения. Атмосфера — пример системы, способной демонстрировать детерминированный хаос: её динамика подчиняется физическим законам, однако даже небольшие различия в начальных условиях со временем могут привести к существенному расхождению сценариев развития погодных процессов.
Поэтому в современной метеорологии используют ансамблевые прогнозы: вместо одного расчёта выполняют несколько, немного изменяя начальные условия и параметры модели. Это позволяет оценить возможный диапазон развития атмосферных процессов и неопределённость прогноза.
Фото: 1 — хаотический аттрактор Лоренца («бабочка») в трёхмерном фазовом пространстве; 2 — статья Эдварда Лоренца «Deterministic Nonperiodic Flow» (1963).
